「笑ってはいけないトレジャーハンター」でココリコ田中が行ったカードゲーム、本当に田中が有利なのか数学的に証明してみた

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2018年の年末にテレビで放送された「絶対に笑ってはいけないトレジャーハンター24時!!」でココリコの田中さんがおこなったカードゲームについて解説を行っています。
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まずは、基本的なルール説明から。挑戦者(田中さん)と相手の二人に同じ枚数のカードが配られます。それぞれ「OUT」と書かれたカードが1枚あり。残りはすべてSAFEと書かれています。
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 両者はカードを場に出します。(一旦カードは裏向きです) そして、出したカードをめくって確認します。 
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カードをめくったときに、「両方SAFEなら試合続行」「一方がSAFEなら挑戦者(田中さん)の勝ち」「両方ともOUTなら相手の勝ち」となっています。白黒つかなければ、残ったカードから1枚場に出して、同様に続けます。番組中に「手札5枚でおこなわれたとき、挑戦者(田中さん)が明らかに有利」とコメントがありましたが果たして本当にそうでしょうか? 具体的に何割の確率なのか計算してみましょう。
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例として手札が3枚のときを考えます。樹形図より、1回目の時点では「試合が続く確率は4/9」「挑戦者(田中さん)が勝つ確率は4/9」「挑戦者(田中さん)が負ける確率は1/9」となります。
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2回目についても同様に樹形図で考えます。
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3回目に突入した場合は、両者とも手札にOUTしか残らないので挑戦者(田中さん)の敗北が決まっています。
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挑戦者が負ける確率は1/9+1/9+1/9=1/3 したがって挑戦者が勝つ確率は1-1/3=2/3手札が3枚の場合の挑戦者(田中さん)が勝つ確率は2/3ということがわかりました。
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今度は手札がn枚のときを考えてみます。これも樹形図で考えます。
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試合が続行する確率、挑戦者(田中さん)が負ける確率は樹形図より導かれました。勝つ確率はこの場合考えなくてよいです。
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勝負が2回目に続く場合はSAFEが1枚減ったものと考えて画面のようになります。
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勝負が3回目に続く場合も同様に考えます。
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(n-1)回目は、試合が続行する確率と負ける確率はそれぞれ「1/n^2」となります。n回目の負ける確率も同じです。ということは、挑戦者が1回目、2回目、3回目で負ける確率はいずれも「1/n^2」なので……。
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このゲームで挑戦者(田中さん)が負ける確率は「n×1/n^2=1/n」となります。
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負ける確率が1/nなので、挑戦者(田中さん)勝つ確率は「1-1/n」となりますね。あとは、手札の枚風を当てはめて行くだけで勝率がわかります。確かに手札が増えれば増えるほど勝率が上がっていますね!
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割と単純なルールなんで、急遽改定してセンター試験出してもいけそう
Eカードやな
漸化式を作るのか
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